ggT(a*k,b)|k < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 So 24.02.2019 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Seien $a,b,k [mm] \in \IZ$ [/mm] und $ggT(a,b)=1$.
Zu zeigen ist, dass $ggT(a*k,b)|k$ |
Hallo,
ich vermute die Lösung ist ganz einfach, ich brech mir jedoch einen ab. Auf die Gefahr hin, dass ich mich blamiere, hier meine Versuche:
Versuch 1
Mit $ggT(a,b)=1$ sind $a$ und $b$ teilerfremd und man kann schreiben: $ak = a*ggT(ak,b)$ und $b=b*ggT(ak,b)$ Ab hier sehe ich keine offensichtliche Möglichkeit weiterzumachen.
Versuch 2
Aus $ggT(a,b)=1$ und dem Lemma von Bézout folgt [mm] $\exists [/mm] x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $1=xa+yb [mm] \gdw [/mm] k = xak + ybk$. Auch von hier aus laufe ich nur in Sackgassen hinein...
Weiß jemand Rat?
Liebe Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mo 25.02.2019 | | Autor: | Marc |
Hallo Thomas!
> Seien [mm]a,b,k \in \IZ[/mm] und [mm]ggT(a,b)=1[/mm].
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]ggT(a*k,b)|k[/mm]
> [...]
> Weiß jemand Rat?
Mit der Hilfsaussage [mm] $\ggT(a,b)=1\ \wedge\ [/mm] a|cb [mm] \Rightarrow [/mm] a|c$ (evtl. beweisen) müsste es schnell folgen:
[mm] $g:=\ggT(a\cdot [/mm] k,b)$
[mm] $\Rightarrow$ $g|a\cdot [/mm] k$ und $g|b$
Jetzt noch schauen, warum [mm] $\ggT(g,a)=1$ [/mm] gilt, dann sollte $g|k$ mit der Hilfsaussage folgen.
Viele Grüße
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Mo 25.02.2019 | | Autor: | magics |
Danke, leider komm ich nicht so richtig dahinter, wie man über den Weg zum Ergebnis kommt. Der Ansatz von HJKWeseleit reicht mir für den Augenblick. Falls ich nochmal was dazu finden sollte, melde ich mich (der Vollständigkeit halber).
Grüße
Thomas
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Seien [mm] a=a_1a_2...a_n, b=b_1b_2...b_m [/mm] und [mm] k=k_1k_2...k_l [/mm] die Primfaktorzerlegungen von a, b und k.
Wegen ggT(a|b)=1 ist [mm] a_i\ne b_j [/mm] für alle vorkommenden i,j.
ggT(ak|b) enthält alle gemeinsamen Teiler von ak und b, also von
[mm] a_1a_2...a_nk_1k_2...k_l [/mm] und [mm] b_1b_2...b_m.
[/mm]
Die vorkommenden [mm] a_i [/mm] scheiden aus, da sie mit keinem der [mm] b_j [/mm] übereinstimmen. Somit bleiben genau die Primfaktoren übrig, die [mm] k_1k_2...k_l [/mm] und [mm] b_1b_2...b_m [/mm] gemeinsam haben, und die bilden gerade ggT(k|b).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mo 25.02.2019 | | Autor: | magics |
Superschöner Beweis, finde ich. Danke!
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